Ευκλείδειο διάνυσμα

Ευκλείδειο διάνυσμα ή απλά διάνυσμα ή άνυσμα καλείται γενικά το ευθύγραμμο τμήμα επί του οποίου παριστάνονται τόσο στα μαθηματικά όσο και στις Φυσικές επιστήμες ιδίως στη Μηχανική διάφορα μεγέθη (δύναμης, ταχύτητας, ροπής κλπ) περιέχοντας συνάμα και τις έννοιες της διεύθυνσης και της φοράς.
Υπάρχουν ορισμένα μεγέθη όπως η μάζα, η θερμοκρασία και η απόσταση τα οποία προσδιορίζονται μόνο με το μέτρο τους, (στη φυσική χρειάζεται και η κατάλληλη μονάδα μέτρησης). Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται μονόμετρα ή βαθμωτά. Υπάρχουν όμως και μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή, η μετατόπιση κ.α. τα οποία για να προσδιοριστούν επακριβώς δεν είναι αρκετό να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο τους (και τη μονάδα μέτρησης). Αυτά τα μεγέθη για να τα προσδιορίσουμε χρειάζεται να ξέρουμε επιπλέον και τη διεύθυνσή τους στο χώρο και τη φορά τους. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη ή και, απλώς, διανύσματα.
 ο διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από την στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Από την αρχαιότητα ήταν γνωστός με διάφορες μορφές ο κανόνας του παραλληλογράμμου στους Έλληνες επιστήμονες, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και κατεύθυνση δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν.
Η αποδοχή και η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών στα μαθηματικά και η μελέτη μεγεθών όπως η ταχύτητα, η δύναμη και η ορμή που χαρακτηρίζονται τόσο από το μέτρο τους όσο και από την κατεύθυνσή τους στο χώρο έφεραν στο προσκήνιο την έννοια του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος και της προσανατολισμένης κίνησης, ιδέες που συναντώνται το 17^o αιώνα στα έργα των Ισαάκ Νεύτων (Νιούτον) και G. W. Leibniz (Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς).
Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα άρχισε για να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς αλλά και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθυγράμμων τμημάτων. Σημαντικό είναι το έργο των Κάσπαρ Βέσελ (C. Wessel) και Ζαν Ρομπέρ Αργκάν (R. Argand) στον ορισμό των πράξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Στις εργασίες τους υπάρχουν οι βασικές ιδέες του σημερινού Διανυσματικού Λογισμού.
Η ουσιαστική ανάπτυξη όμως του πεδίου αυτού ξεκινά αργότερα με τη γενίκευση των πιο πάνω ιδεών στο τρισδιάστατο χώρο και με τη θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικής θεωρίας με τα έργα των Ουίλιαμ Χάμιλτον (W. Hamilton) και Χέρμαν Γκράσσμαν (H. Grassmann). Κατά το 19^ο αιώνα η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε από τη φυσική. Το 1880 οι φυσικοί Γιοσάια Ουίλαρντ Γκιμπς (J. W. Gibbs) και Όλιβερ Χέβισαϊντ (O. Heaviside) δημιούργησαν τη σύγχρονη θεωρία του διανυσματικού λογισμού. Τέλος το 1888 ο Τζουζέπε Πεάνο (G. Peano) θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικού χώρου.
Στη γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα δηλ, ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα, με το πρώτο άκρο να ονομάζεται αρχή του διανύσματος ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β.

Εναλλακτικά για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται και έντονα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα ) ή μικρά γράμματα επιγραμμισμένα με βέλος (για παράδειγμα ).

Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των άκρων του Α και Β, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Συμβολίζεται με . Αν το διάνυσμα έχει μέτρο 1 τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Φορέας διανύσματος

Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, για παράδειγμα φορέας του διανύσματος είναι η ευθεία ΑΒ.
Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα και έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά και λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουν ίδια διεύθυνση. Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Τα μη μηδενικά διανύσματα και είναι:

• Ομόρροπα, όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους ή έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΕΖ περιέχει την άλλη. Τα συγγραμμικά και ομόρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν ίδια κατεύθυνση (γράφουμε ).
•  
  

  

  Ομόρροπα διανύσματα.
• Αντίρροπα, όταν δεν είναι ομόρροπα. Τα συγγραμμικά και αντίρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (γράφουμε ).

Αντίρροπα διανύσματα

 Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το πέρας συμπίπτουν και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα το διάνυσμα είναι ένα μηδενικό διάνυσμα.
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του.
 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ).
 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ή ).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα και και ζητούμε το άθροισμα . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και . Το διάνυσμα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των δύο διανυσμάτων. Το άθροισμα των διανυσμάτων αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου.