Ευκλείδειο διάνυσμα

Ευκλείδειο διάνυσμα ή απλά διάνυσμα ή άνυσμα καλείται γενικά το ευθύγραμμο τμήμα επί του οποίου παριστάνονται τόσο στα μαθηματικά όσο και στις Φυσικές επιστήμες ιδίως στη Μηχανική διάφορα μεγέθη (δύναμης, ταχύτητας, ροπής κλπ) περιέχοντας συνάμα και τις έννοιες της διεύθυνσης και της φοράς.
Υπάρχουν ορισμένα μεγέθη όπως η μάζα, η θερμοκρασία και η απόσταση τα οποία προσδιορίζονται μόνο με το μέτρο τους, (στη φυσική χρειάζεται και η κατάλληλη μονάδα μέτρησης). Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται μονόμετρα ή βαθμωτά. Υπάρχουν όμως και μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή, η μετατόπιση κ.α. τα οποία για να προσδιοριστούν επακριβώς δεν είναι αρκετό να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο τους (και τη μονάδα μέτρησης). Αυτά τα μεγέθη για να τα προσδιορίσουμε χρειάζεται να ξέρουμε επιπλέον και τη διεύθυνσή τους στο χώρο και τη φορά τους. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη ή και, απλώς, διανύσματα.
 ο διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από την στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Από την αρχαιότητα ήταν γνωστός με διάφορες μορφές ο κανόνας του παραλληλογράμμου στους Έλληνες επιστήμονες, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και κατεύθυνση δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν.
Η αποδοχή και η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών στα μαθηματικά και η μελέτη μεγεθών όπως η ταχύτητα, η δύναμη και η ορμή που χαρακτηρίζονται τόσο από το μέτρο τους όσο και από την κατεύθυνσή τους στο χώρο έφεραν στο προσκήνιο την έννοια του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος και της προσανατολισμένης κίνησης, ιδέες που συναντώνται το 17^o αιώνα στα έργα των Ισαάκ Νεύτων (Νιούτον) και G. W. Leibniz (Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς).
Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα άρχισε για να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς αλλά και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθυγράμμων τμημάτων. Σημαντικό είναι το έργο των Κάσπαρ Βέσελ (C. Wessel) και Ζαν Ρομπέρ Αργκάν (R. Argand) στον ορισμό των πράξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Στις εργασίες τους υπάρχουν οι βασικές ιδέες του σημερινού Διανυσματικού Λογισμού.
Η ουσιαστική ανάπτυξη όμως του πεδίου αυτού ξεκινά αργότερα με τη γενίκευση των πιο πάνω ιδεών στο τρισδιάστατο χώρο και με τη θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικής θεωρίας με τα έργα των Ουίλιαμ Χάμιλτον (W. Hamilton) και Χέρμαν Γκράσσμαν (H. Grassmann). Κατά το 19^ο αιώνα η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε από τη φυσική. Το 1880 οι φυσικοί Γιοσάια Ουίλαρντ Γκιμπς (J. W. Gibbs) και Όλιβερ Χέβισαϊντ (O. Heaviside) δημιούργησαν τη σύγχρονη θεωρία του διανυσματικού λογισμού. Τέλος το 1888 ο Τζουζέπε Πεάνο (G. Peano) θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικού χώρου.
Στη γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα δηλ, ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα, με το πρώτο άκρο να ονομάζεται αρχή του διανύσματος ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β.

Εναλλακτικά για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται και έντονα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα ) ή μικρά γράμματα επιγραμμισμένα με βέλος (για παράδειγμα ).

Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των άκρων του Α και Β, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Συμβολίζεται με . Αν το διάνυσμα έχει μέτρο 1 τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Φορέας διανύσματος

Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, για παράδειγμα φορέας του διανύσματος είναι η ευθεία ΑΒ.
Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα και έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά και λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουν ίδια διεύθυνση. Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Τα μη μηδενικά διανύσματα και είναι:

• Ομόρροπα, όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους ή έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΕΖ περιέχει την άλλη. Τα συγγραμμικά και ομόρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν ίδια κατεύθυνση (γράφουμε ).
•  
  

  

  Ομόρροπα διανύσματα.
• Αντίρροπα, όταν δεν είναι ομόρροπα. Τα συγγραμμικά και αντίρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (γράφουμε ).

Αντίρροπα διανύσματα

 Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το πέρας συμπίπτουν και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα το διάνυσμα είναι ένα μηδενικό διάνυσμα.
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του.
 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ).
 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ή ).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα και και ζητούμε το άθροισμα . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και . Το διάνυσμα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των δύο διανυσμάτων. Το άθροισμα των διανυσμάτων αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου.

                        Αναλυτική γεωμετρία

 Αναλυτική γεωμετρία είναι το είδος της γεωμετρίας που θεωρεί το γεωμετρικό χώρο διανυσματικό χώρο. Κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου, ενώ τα γεωμετρικά σχήματα και οι γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των σημείων και διάφορων σχημάτων περιγράφονται με διανυσματικές σχέσεις οι οποίες μπορούν να επεξεργαστούν όπως και οι αλγεβρικές. Έτσι μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας έγινε μία αλγεβροποίηση της γεωμετρίας σε τέτοιο σημείο που υποστηρίζεται ότι πλέον η γεωμετρία δε χρειάζεται καθόλου αξιωματική θεμελίωση, αλλά αρκεί να στηριχθεί μέσω κατάλληλων ορισμών στην άλγεβρα.

                        Μπέρναρντ Ρίμαν

 Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν ή Ρήμαν (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη Μαθηματική Ανάλυση, την Τοπολογία, την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών και τη Διαφορική Γεωμετρία, προωθώντας τη μη ευκλείδεια Γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση αργότερα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Κατά τον D. Struik «με τον Ρίμαν φτάνουμε στον άνθρωπο που επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών».

 

Τα πρώτα χρόνια

Ο Ρίμαν γεννήθηκε στο Μπρέζελεντς (Breselenz), ένα χωριό κοντά στο Ντάνενμπεργκ, στο κρατίδιο Ανόβερο της Γερμανίας. Ο πατέρας του, ο Friedrich Bernhard Riemann, ήταν ένας φτωχός Λουθηρανός πάστορας στο χωριό και είχε πολεμήσει στους Ναπολεόντειους Πολέμους. Η μητέρα του πέθανε πριν μεγαλώσουν τα παιδιά της. Ο Ρίμαν ήταν το δεύτερο από 6 παιδιά, ντροπαλός και με νευρικές καταρρεύσεις. Ωστόσο, έδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, όπως αφάνταστη ταχύτητα στους υπολογισμούς, από μικρή ηλικία, αλλά υπέφερε από δειλία και φόβο να μιλά δημόσια.
Στο σχολείο ο Ρίμαν μελέτησε πολύ τη Βίβλο αλλά το μυαλό του συχνά γυρνούσε στα Μαθηματικά. Προσπάθησε ακόμα και να αποδείξει μαθηματικά την ορθότητα της Γενέσεως. Οι δάσκαλοί του έμεναν κατάπληκτοι από την ευφυΐα του και την ικανότητά του να εκτελεί εξαιρετικά πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις. Συχνά ξεπερνούσε τις γνώσεις του δασκάλου του. Το 1840 ο Ρίμαν πήγε στο Ανόβερο να ζήσει με τη γιαγιά του, ώστε να σπουδάσει παραπέρα. Μετά τον θάνατό της το 1842, γράφτηκε στο Johanneum («Ιωάννειο Λύκειο») στο Λύνεμπουργκ. Το 1846, σε ηλικία 19 ετών, άρχισε να μελετά Φιλολογία και Θεολογία ώστε να γίνει ιερέας και να βοηθήσει έτσι οικονομικά την οικογένειά του. Αλλά τον επόμενο χρόνο, ο πατέρας του, αφού κατόρθωσε να συγκεντρώσει με μεγάλες δυσκολίες αρκετά χρήματα για να τον στείλει στο πανεπιστήμιο, του επέτρεψε να αφήσει τη Θεολογία και να αρχίσει σπουδές στα Μαθηματικά. Τον έστειλε στο ονομαστό Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, όπου συνάντησε τον μεγάλο μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους και παρακολούθησε διαλέξεις του πάνω στη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.

Τα ώριμα χρόνια

Σύντομα ωστόσο ο Ρίμαν μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου δίδασκαν οι Γιακόμπι, Ντίριχλετ και Στάινερ. Παρέμεινε στο Βερολίνο επί διετία και επέστρεψε στο Γκέτινγκεν το 1849.
Ο Ρίμαν άρχισε να δίνει διαλέξεις το 1854, διαλέξεις που θεμελίωσαν τη Γεωμετρία που σήμερα αποκαλείται «Ριμάνεια». Μετά από μια αποτυχημένη προσπάθεια να γίνει καθηγητής κατ' εξαίρεση στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν σε ηλικία μόλις 31 ετών (το 1857), ο Ρίμαν απέκτησε ένα κανονικό μισθό. Το 1859 τελικά, μετά τον θάνατο των Γκάους και Ντίριχλετ, εκλέχθηκε καθηγητής και επικεφαλής του Τμήματος Μαθηματικών εκεί. Υπήρξε ο πρώτος που εισηγήθηκε τη θεωρία των ανώτερων διαστάσεων, που απλοποίησε πολύ προβλήματα της Φυσικής, μέχρι σήμερα.
Το 1862 ο Ρίμαν νυμφεύθηκε την Elise Koch, με την οποία απέκτησαν μία κόρη. Τέσσερα χρόνια αργότερα, ο Μπέρναρντ Ρίμαν πέθανε από φυματίωση στο τρίτο του ταξίδι στην Ιταλία, στη Σελάσκα, στις ακτές της Λίμνης Ματζόρε, όπου παραθέριζε εξαιτίας του καλού κλίματος για την πάθησή του. Τάφηκε στο Μπιγκαντσόλο (Biganzolo) της Βερμπανία (Verbania).

Η επίδρασή του στα Μαθηματικά

Το έργο του Ρίμαν άνοιξε νέες ερευνητικές περιοχές συνδυάζοντας την Ανάλυση με τη Γεωμετρία. Εκτός από τη Ριμάνεια Γεωμετρία, η θεωρία των επιφανειών Ρίμαν αναπτύχθηκε παραπέρα από τους Φέλιξ Κλάιν και Άντολφ Χούρεβιτς και σήμερα συνιστά ένα από τα θεμέλια της Τοπολογίας, ενώ εφαρμόζεται ακόμα με νέους τρόπους στη Μαθηματική Φυσική.
Ο Ρίμαν προσέφερε πολλά στην Πραγματική Ανάλυση: όρισε το ολοκλήρωμα Ρίμαν με τη βοήθεια των αθροισμάτων Ρίμαν, ανέπτυξε μια θεωρία για τις τριγωνομετρικές σειρές που δεν είναι σειρές Φουριέ — ένα πρώτο βήμα για μια θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων — και μελέτησε το διαφορικό ολοκλήρωμα Ρίμαν-Λιουβίλ.
Πολύ γνωστές είναι και κάποιες συνεισφορές του Ρίμαν στη σύγχρονη Αναλυτική Θεωρία των αριθμών. Σε μία και μόνη σύντομη δημοσίευση (τη μοναδική του επί της Αριθμοθεωρίας), εισήγαγε τη Συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έδειξε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διετύπωσε μια σειρά από εικασίες σχετικές με ιδιότητες της συναρτήσεως ζ, μία από τις οποίες είναι η περιβοήτη Υπόθεση του Ρίμαν.
Ο Ρίμαν εφάρμοσε την Αρχή του Dirichlet από τον Λογισμό των μεταβολών με σπουδαία αποτελέσματα. Η εργασία του στη μονοδρομία και στην υπεργεωμετρική συνάρτηση στους μιγαδικούς έκανε μεγάλη εντύπωση και καθιέρωσε μια βασική μέθοδο εργασίας με συναρτήσεις «λαβαίνοντας υπόψη μόνο τις ανωμαλίες τους».

Ευκλείδεια και Ριμάνεια Γεωμετρία

 

Το 1853, ο Γκάους ζήτησε από τον φοιτητή του Ρίμαν να ετοιμάσει και να παρουσιάσει μια διατριβή επί υφηγεσία πάνω στα θεμέλια της Γεωμετρίας. Μετά από πολλούς μήνες ο Ρίμαν ανέπτυξε τη θεωρία του για τις ανώτερες διαστάσεις. Όταν τελικά έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό. Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη Γεωμετρία. Ο τίτλος της ήταν Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας»).
Αυτό που θεμελίωσε η παραπάνω εργασία ήταν η Ριμάνεια Γεωμετρία. Ο Ρίμαν βρήκε τον σωστό τρόπο να επεκτείνει σε «ν» διαστάσεις τη Διαφορική Γεωμετρία των επιφανειών, την οποία ο ίδιος ο Γκάους είχε αποδείξει με το theorema egregium. Το θεμελιώδες εδώ είναι ο Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Για την περίπτωση μιας επιφάνειας, αυτός μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό (βαθμωτό), θετικό, αρνητικό ή μηδέν: οι μη μηδενικές και σταθερές περιπτώσεις είναι τα μοντέλα των γνωστών μη ευκλείδειων γεωμετριών.

Ανώτερες διαστάσεις

Η ιδέα του Ρίμαν ήταν να εισαγάγει ένα σύνολο αριθμών για κάθε σημείο του χώρου που θα περιέγραφαν το πόσο καμπυλωμένος ήταν. Βρήκε ότι στις 4 χωρικές διαστάσεις χρειάζονται 10 αριθμοί σε κάθε σημείο για την πλήρη περιγραφή των ιδιοτήτων μιας πολλαπλότητας, όσο και όπως παραμορφωμένη και να είναι αυτή. Αυτός είναι ο περίφημος μετρικός τανυστής.

Διαφορική γεωμετρία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Διαφορική γεωμετρία

Η Διαφορική γεωμετρία είναι ένας σπουδαίος κλάδος, σχεδόν σύγχρονος της Γεωμετρίας που άρχισε ν΄ αναπτύσσεται περί τον 17ο αιώνα ως μαθηματικός κλάδος του απειροστικού λογισμού. Έχοντας υπόψη ότι η έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης ουσιαστικά είναι τυτόσημη με αυτή της εφαπτομένης μιας καμπύλης, το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ερμηνεύεται γεωμετρικά ως το εμβαδόν που περικλείουν οι άξονες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Έτσι με εφαρμογή του απειροστικού λογισμού η γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών ανέδειξε νέες έννοιες καμπυλότητας.

Πρωτοπόροι

Πρωτοπόροι μαθηματικοί που συνέβαλαν στη ανάπτυξη αυτού του κλάδου ήταν ο Ελβετός Λεονάρδος Όιλερ και ο Γάλλος Γάσπαρ ή Γκασπάρ Μονζ τους οποίου ακολούθησαν ο Γερμανός Φρειδερίκος Γκάους και ο Βερνάρδος Ρήμαν που το 1854 θεμελίωσε τη λεγόμενη "γεωμετρία Ρήμαν" που βασίζεται σε δοσμένη τετραγωνική διαφορική μορφή η οποία υπόψη προσφέρεται και ως μοντέλο του σύμπαντος στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν.
Ο Μπέρναρντ Ρίμαν πριν γίνει καθηγητής πανεπιστημίου στην έδρα του Γκαίτιγκεν 28 ετών τότε υπέβαλε στον Γκάους τρία θέματα για τη διδακτορική διατριβή του. Ο Γκάους εξέλεξε το τρίτο, ένα σκοτεινό θέμα, που έχει σχέση με τις θεμελιώδεις υποθέσεις κάθε γεωμετρίας. Για να επεξεργασθεί το θέμα ο Ρίμαν χρησιμοποίησε τη σύλληψη μιας μη ευκλείδιας γεωμετρίας που είχε φαντασθεί ο Γκάους για τη μέτρηση των καμπυλών επιφανειών. Από τον συνδυασμό αυτό δημιούργησε ένα μαθηματικό αριστούργημα τη διαφορική γεωμετρία η οποία ανακάλυψε νέες μεθόδους μετρήσεων σε διαστήματα οποιασδήποτε καμπυλότητας και οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων. Θα περάσει μισός αιώνας πριν ο κόσμος αντιληφθεί τη σημασία της ανακάλυψης της γεωμετρίας του Ρίμαν.

Σύγχρονη εφαρμογή

Η σύγχρονη Διαφορική Γεωμετρία βασίζεται ουσιαστικά στην παραδοχή ότι τα αντικείμενα μελέτης της αποτελούν δομικά μια ιδιαίτερη κλάση χώρων που χαρακτηρίζονται πολλαπλότητες οι οποίες φέρουν επιπρόσθετες δομές που προσδιορίζουν τις ιδιότητες εκείνες ώστε να ορίζουν ενότητα. Το όλο θέμα του αντικειμένου της έχει να κάνει ουσιαστικά με συντεταγμένες του χώρου, για τον λόγο αυτό και η τοπολογία ως εργαλείο παίζει ιδιαίτερα σπουδαίο ρόλο.
Βασικά θέματα του κλάδου αυτού είναι: Οι πολλαπλότητες και οι τανυσματικές δέσμες και τα εξ αυτών τανυσματικά πεδία, οι συνοχές μεταξύ ιδιοτήτων (τοπικών και ολικών), ο τύπος Γκάους-Μπονέ, κάποια θεωρήματα, κλάσεις μορφών καμπυλοτήτων καθώς και οι μιγαδικές πολλαπλότητες.

▪ Οι τρεις βασικές Γεωμετρίες

▪ Οι τρεις βασικές Γεωμετρίες

1. Η Ευκλείδεια γεωμετρία ή Επιπεδομετρία

Η γεωμετρία αυτή είναι γνωστή από την αρχαία εποχή και την διατύπωσε ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης και η οποία στηρίζεται στην εξής βασική αρχή:

«Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δύο εκτός από μια κατηγορία ευθειών που ονομάζονται παράλληλες, οι οποίες δεν τέμνονται ποτέ». 

2. Η Γεωμετρία του Riemann ή Ελλειπτική Γεωμετρία .

Η γεωμετρία αυτή διατυπώθηκε από τον μαθηματικό Riemann και έχει την ακόλουθη αρχή:

« Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δύο». 

3. Η Γεωμετρία του Lobachevsky ή Υπερβολική Γεωμετρία

Η γεωμετρία αυτή διατυπώθηκε από τον μαθηματικό Lobachevsky και έχει την ακόλουθη αρχή:

« Δεν υπάρχουν ευθείες που να τέμνονται ανά δύο».

Η Ευκλείδεια γεωμετρία συνδέεται άμεσα με την φύση, όπως την αντιλαμβανόμαστε, αφού η αρχή της είναι προφανής στις ανθρώπινες αισθήσεις.Ονομάζεται επίπεδη επειδή δίνει αποτελέσματα αν εφαρμόζεται στην επιφάνεια ενός επιπέδου (όσον αφορά τουλάχιστον τις δύο διαστάσεις). Όμως η θεωρία της γενικής σχετικότητας μας λέει ότι σε μεγάλες κλίμακες, όπως είναι το σύμπαν, η Ευκλείδεια γεωμετρία (αυτή που μαθαίνουμε στο σχολείο) δεν ισχύει. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η επιστήμη μέχρι σήμερα είναι σε ποια γεωμετρία από τις άλλες δύο υπακούει το σύμπαν και κατά πόσο απέχει από την επίπεδη. Το πρόβλημα αυτό είναι το επονομαζόμενο κοσμολογικό πρόβλημα.

Η γεωμετρία Riemann ονομάζεται ελλειπτική επειδή αναφέρεται σε φυσικά συστήματα τα οποία ζουν στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς ( ή σφαίρας ειδικότερα). Ανάλογα η υπερβολική γεωμετρία αναφέρεται σε φυσικά συστήματα που ζουν στην επιφάνεια ενός σάγματος (σαμαριού). Το κοσμολογικό πρόβλημα προσπαθεί να απαντήσει στο ερώτημα: «το φυσικό σύστημα σύμπαν σε ποια από τις δύο επιφάνειες (ή υπερεπιφάνεια = επιφάνεια τριών, ή τεσσάρων μαζί με τον χρόνο, διαστάσεων) ζει? ».

Στοιχεία

             

Στοιχεία
εξώφυλλο της πρώτης έκδοσης στα αγγλικά από τον Sir Henry Billingsley (1570)
Συγγραφέας	Ευκλείδης
Γλώσσα	Ελληνικά
Πρώτη έκδοση	300 π.Χ.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα) είναι μια μαθηματική και γεωμετρική διατριβή που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ.. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωριών που ορίζουν τη μαθηματική σκέψη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας.
Το όνομα «Στοιχεία» είναι ο πληθυντικός του «στοιχείον». Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο όρος «στοιχείον» σημαίνει ένα θεώρημα που υπεισέρχεται σε άλλα προβλήματα του κλάδου του και βοηθά να αποδειχθούν πολλά άλλα θεωρήματα. Επειδή η λέξη «στοιχείον» στην αρχαία ελληνική γλώσσα σημαίνει και «γράμμα», υποδηλώνεται ότι τα θεωρήματα των Στοιχείων θα πρέπει να τα αντιλαμβανόμαστε ως έχοντα την ίδια σχέση με τη γεωμετρία όπως τα γράμματα με τη γλώσσα. Οι μεταγενέστεροι σχολιαστές αποδίνουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία στον όρο, τονίζοντας το πώς οι προτάσεις προχωρούν με μικρά βήματα και «χτίζουν» επάνω σε προηγούμενες προτάσεις με μια καλώς καθορισμένη σειρά.
Τα Στοιχεία θεωρούνται η παλαιότερη πραγματεία^[1] και είναι η παλαιότερη μαθηματική θεωρία.^[2] Αποδείχθηκε βασική για τη δημιουργία και την εξέλιξη της λογικής και της σύγχρονης επιστήμης.

                                   Θαλής

Ο Θαλής ο Μιλήσιος, (περ 630/635 π.Χ. - 543 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας, ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και προσωκρατικός φιλόσοφος, ιδρυτής της Μιλησιακής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας.
Ήταν γιος του Εξαμύου και της Κλεοβουλίνης, δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου αιώνα π.Χ. στη Μίλητο. Το όνομά του στην καθαρεύουσα είναι περισπώμενο. Στην αρχαία ελληνική απαντάται ως Θαλής, αλλά και Θάλης, γενική του Θάλητος, στην αρχαία ιωνική διάλεκτο Θάλεω, γενική του Θαλού. Ακολούθως δοτική τω Θάλητι, Θαλή και Θαλεί, αιτιατική: Θάλητα, Θαλήν, Θάλην και Θαλή, κλητική: ώ Θαλή. Την βιογραφία του έγραψε ο Διογένης ο Λαέρτιος.

Ο Θαλής αναφέρεται ως σπουδαίος γεωμέτρης. Κέρδισε μάλιστα τον θαυμασμό των Αιγυπτίων μετρώντας το ύψος των πυραμίδων, βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου που έμπηγε στο έδαφος.
Γνωστό είναι το Θεώρημα του Θαλή που αναφέρει: όταν παράλληλες ευθείες τέμνονται από δύο άλλες ευθείες τότε τα τμήματα μεταξύ των παραλλήλων που ορίζονται στην μια τέμνουσα, είναι ανάλογα ……
Στον Θαλή αποδίδονται από τους αρχαίου συγγραφείς πέντε ακόμα αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων που είναι οι ακόλουθες:

1. Η διάμετρος κύκλου διχοτομεί τον κύκλο.
2. Οι κατά κορυφή γωνίες είναι ίσες.
3. Οι παρά τη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες είναι ίσες.
4. Αν δυο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες, είναι και μεταξύ τους ίσα.
5. Η εγγεγραμμένη σε ημιπεριφέρεια γωνία είναι ορθή.

                                                                 

                                        ΙΣΤΟΡΙΚΟΙ  ΓΕΩΜΕΤΡΕΣ
              

           

                       Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.Χ. - 265 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος αλλα κυρίως οργανωτής που συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους.
Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ' ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο. Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του (η βάση της οποίας είναι: έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α) ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.

                                           

                                                        ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.
                                                 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαγωνίου του, περίπου ίσο με 3+1/8.

Σχήμα Ευκλείδειας γεωμετρίας

Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι αρχαίοι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο. Με την πάροδο των ετών ανέπτυξαν των αποδεικτική γεωμετρία, η οποία κορυφώνεται στην Αλεξανδρινή εποχή. Η γεωμετρία έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων, οι οποίοι ανέπτυξαν μία γεωμετρικοποιημένη αριθμητική. Αργότερα, ο Πλάτωνας θεώρησε τις μαθηματικές, άρα και τις γεωμετρικές ιδέες, ως τον ιδανικό κόσμο. Μέχρι τον Αριστοτέλη αναπτύσσονταν κοσμολογίες με βάση απλά γεωμετρικά σχήματα, το οποίο κατά μία έννοια συμβαίνει και σήμερα στη σύγχρονη Φυσική. Ο Αριστοτέλης, όπως και οι Αλχημιστές αργότερα, πίστευαν ότι ο κόσμος αποτελείται από πέντε κανονικά γεωμετρικά στερεά, την ισοσκελής τριγωνική πυραμίδα, το τετράεδρο, τον κύβο, το κανονικό δωδεκάεδρο και το κανονικό εικοσάεδρο.
Η γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος των μαθηματικών που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι. Δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος "Ευκλείδεια γεωμετρία" όπου και γίνεται μεγαλύτερη ανάλυση του όρου. Το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, δηλαδή ότι θα πρέπει να δεχθούμε αξιωματικά ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, γιατί δε μπορούμε να το αποδείξουμε.
Η γεωμετρία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο φιλοσοφικό σύστημα του Καντ, ο οποίος μιλούσε για καθαρή εποπτεία, η οποία ουσιαστικά ήταν γεωμετρικά σχήματα. Ειρωνικά, μέσω της γεωμετρίας δείχθηκαν εποπτικά τα σφάλματα αυτού του συστήματος. Έτσι, προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν. Στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλος αντίστοιχα.

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριων και αναλυτικής γεωμετρίας

Σε όλες σχεδόν τις γεωμετρίες ορίζονται αρχικά τρεις έννοιες το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Για να γίνουν αντιληπτές η σφαιρική και η υπερβολική γεωμετρία συνήθως προβάλλουμε ένα επίπεδό τους στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ενώ οι ιδιότητες της ευκλείδειας γεωμετρίας θεωρούνται γνωστές. Ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύστημα αναφοράς, για να κατασκευάσουμε την αντίστοιχη αναλυτική γεωμετρία.

• Επίπεδο: Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδεια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα σελοειδές σχήμα για την υπερβολική. Η παραγωγή του σελοειδούς διαφαίνεται στο σχήμα αριστερά. Όλα τα σχήματα της κάθε γεωμετρίας τα θεωρούμε για λόγους ευκολίας πάνω σε αυτές τις επιφάνειες. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί.

• Σημείο: Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.

• Ευθεία: Η ευθεία της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμιά παράλληλος, ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.

• σύστημα αναφοράς: Στην ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.

Με βάση τα παραπάνω μπορούν να οριστούν στην κάθε γεωμετρία τα βασικά γεωμετρικά σχήματα όπως τα τρίγωνα και τα ευθύγραμμα τρίγωνα και να μελετηθούν οι ιδιότητές τους.